Ángulos en las circunferencias

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Tabla de contenidos

1 Definición
2 Ángulo inscrito y ángulo central
3 Ángulo semiinscrito
4 Ángulo interior
5 Ángulos exteriores

[editar] Definición

Dentro de una circunferencia encontramos distintos tipos de ángulos, por ejemplo:

$\alpha$ = ángulo inscrito, con el vértice sobre la circunferencia y con lados que son cuerdas de la misma.

$\beta$ = ángulo semiinscrito, con el vértice en la circunferencia, un lado tangente en el vértice y otro que es una cuerda.

$\gamma$ = ángulo central, con el vértice en el centro de la circunferencia y los lados coincidentes con radios.

$\delta$ = ángulo interior, con lados que son cuerdas de la circunferencia y el vértice situado en su interior.

[editar] Ángulo inscrito y ángulo central

El ángulo inscrito a una circunferencia es el que tiene el vértice en un punto perteneciente a ella, E, siendo sus lados cuerdas de la misma, AE y EB. Vemos que el ángulo inscrito abarca el arco AB. Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco son iguales. En nuestro ejemplo son iguales los ángulos de vértices D, E, F, G. El ángulo inscrito vale la mitad del arco que abarca. El ángulo central es el que tiene el vértice en el centro de la circunferencia, C, siendo sus lados dos radios, CA y CB. Vemos que el ángulo central dibujado abarca el arco AB. El ángulo central mide lo mismo que el arco que abarca. Cuando un ángulo inscrito y un ángulo central de una circunferencia abarcan el mismo arco, el ángulo inscrito vale la mitad que el central.

Comprobamos esta propiedad dibujando el ángulo inscrito con vértice en G, de modo que la cuerda GB coincida con el diámetro de la circunferencia. Analizando los ángulos del triángulo isósceles GAC, vemos que se cumple la propiedad.

Es importante notar que dos puntos A y B sobre una circunferencia determinan dos arcos y, por tanto, dos ángulos centrales, uno cóncavo y uno convexo, o los dos iguales, que sumarán 360º. Sus ángulos inscritos serán suplementarios, pues sumarán 180º.

[editar] Ángulo semiinscrito

El ángulo semiinscrito tiene el vértice A en la circunferencia, siendo sus lados la recta t tangente en A y la cuerda AB.

El ángulo semiiscrito vale la mitad que el ángulo central que abarca el arco AB. Para comprobarlo calculamos el valor del ángulo central: $\alpha = 180^\circ - \ 2\beta$ , por pertenecer al triángulo isósceles ABC.

Calculamos el valor del ángulo semiiscrito: $180^\circ - 90^\circ - \beta = \frac{\alpha}{2}$ .

El razonamiento es el mismo cuando el ángulo semiiscrito abarca el otro arco definido por AB.

[editar] Ángulo interior

El ángulo interior $\gamma$ tiene el vértice en un punto interior a la circunferencia, en el círculo. Sus lados son dos rectas secantes.

El ángulo interior $\gamma = (\alpha + \beta) /2$ , siendo $\alpha$ y $\beta$ los ángulos centrales de los arcos definidos por sus lados.

Vamos a comprobarlo: Consideramos el triángulo escaleno MQG:

el ángulo $Q = \beta /2$ , pues es el ángulo inscrito que abarca el arco MN;

el ángulo $M = \alpha /2$ , pues es el ángulo inscrito que abarca el arco PQ;

el ángulo $G = 180^\circ - (\beta /2 + \alpha /2)$ , por lo tanto, $\gamma = 180^\circ - G = (\alpha + \beta)/2$ .

[editar] Ángulos exteriores

El ángulo exterior $\gamma$ tiene el vértice en un punto exterior a la circunferencia. Sus lados son dos rectas secantes.

El ángulo exterior \gamma = (\alpha - \beta)/2, siendo \alpha y \beta los ángulos centrales de los arcos definidos por sus lados.

Vamos a comprobarlo:

Consideramos el triángulo escaleno $GNQ$ :

el ángulo $Q = \beta/2$ , pues es el ángulo inscrito que abarca el arco $MN$ ;

el ángulo $PNQ = \alpha/2$ , pues es el ángulo inscrito que abarca el arco $PQ$ ;

el ángulo $GNQ = 180^\circ- \alpha/2$ , suplementario de $PNQ$ ;

por lo tanto, el ángulo $\gamma = 180^\circ - \beta/2 â�� (180^\circ- \alpha/2) = (\alpha - \beta)/2$ .

Hay otros dos casos de ángulos exteriores, según sus lados sean secantes o tangentes a la circunferencia:

El ángulo exterior circunscrito $\gamma$ tiene los dos lados tangentes a la circunferencia;

$\gamma = 180^\circ - \alpha$ , siendo $\alpha$ el ángulo central $MN$ definido por sus lados.

Vamos a comprobarlo: El cuadrilátero $MCNG$ cumple, como tal, que la suma de sus ángulos interiores es de $360^\circ$ .

Siendo dos de sus ángulos rectos, resulta que

$180^\circ = \alpha + \gamma$ , luego $\gamma = 180^\circ - \alpha$ .

El ángulo exterior $\gamma$ tiene un lado secante y otro tangente a la circunferencia.

El ángulo exterior $\gamma = (\alpha - \beta)/2$ , siendo $\alpha$ y $\beta$ los ángulos centrales de los arcos definidos por sus lados.

Vamos a comprobarlo:

Consideramos el triángulo escaleno $GQN \$ :

el ángulo $GQN = \beta/2$ , pues es el ángulo inscrito que abarca el arco $MN$ ;

el ángulo $QNG = 180^\circ - \alpha/2$ , pues es el ángulo suplementario de $N$ , ángulo semiinscrito que abarca el arco $QN$ ;

el ángulo $\gamma = 180^\circ- (180^\circ- \alpha/2) - \beta/2 = (\alpha - \beta)/2$ .

Obtenido de "http://www.educared.org/wikiEducared/%C3%81ngulos_en_las_circunferencias.html"

Categoría: Dibujo

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