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Algunos problemas de cuadriláteros
De Wikillerato
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[editar] Propiedades
Para la resolución de problemas de cuadriláteros es necesario conocer algunas de sus propiedades :
- Las diagonales de un paralelogramo se cortan en sus respectivos puntos medios
- Si se unen los puntos medios de un cuadrilátero se obtiene un paralelogramo
- La suma de los cuatro ángulos internos de un cuadrilátero es igual a 360º
[editar] Problema I
Dibujar un romboide de lado AB y diagonales AC y CD dadas.
Como las diagonales de un paralelogramo se cortan en el punto medio, dibujamos el triángulo AOB que tiene como lados AB y las mitades de sus diagonales: AO=AC/2 y BO=BD/2. Una vez situadas las diagonales, las prolongamos y señalamos sus extremos C y D, para definir ABCD.
[editar] Problema II
Dibujar un rombo de diagonal BD y lado AB dados.
Se dibuja la diagonal DB y se trazan arcos con centro en sus extremos y radio AB, para hallar A y C.
[editar] Problema III
Rombo de lado AB y altura h dados.
Recordamos que la altura en un paralelogramo es la distancia entre dos lados paralelos. Como el rombo tiene los lados iguales sólo tiene una altura, luego la solución es única.
Trazamos dos rectas paralelas a la distancia h. Con centro en un punto D arbitrario trazamos un arco de radio AB que corta a las rectas en A y C. Hacemos AB=DC.
[editar] Problema IV
MNPQ es el paralelogramo que obtenemos al unir los puntos medios de los lados de otro paralelogramo ABCD. Dibujar ABCD.
El paralelogramo MNPQ tendrá las diagonales iguales y paralelas los lados de ABCD. Trazamos por los vértices de MNPQ paralelas a las diagonales MP y NQ y obtenemos ABCD.
[editar] Problema V
Dibujar el cuadrado de lado l y diagonal d en el que la magnitud d-l es el segmento dado.
Dibujamos un cuadrado de lado arbitrario y calculamos gráficamente d’-l’.
Superponemos la magnitud dada d-l al segmento d’-l’. Trazamos ordenadamente paralelas y obtenemos el cuadrado pedido.
[editar] Problema VI
Dibujar el rectángulo de lados l y m siendo l-m el segmento dado y conociendo la magnitud de su diagonal BD=10cm.
Todos los rectángulos que cumplan que la diferencia de sus lados es l-m estarán compuestos por un cuadrado de lado m y un rectángulo de lado l-m y m, como vemos en la figura.
Dibujamos el segmento MB = l-m sobre una recta y por uno de sus extremos, M, trazamos un ángulo de 45º, que es el ángulo que forma la diagonal de un cuadrado con su lado. Por el otro extremo, B, trazamos un arco con radio igual a la diagonal BD, que cortará al lado de los 45º en el punto D, vértice del rectángulo.
[editar] Problema VII
Dibujar el cuadrilátero inscriptible en una circunferencia de radio AC, que tenga como lado el segmento AB y como diagonales los segmentos AC y BD.
Dibujamos la circunferencia de radio CA y por un punto A arbitrario trazamos un arco de radio AB y hallamos el lado AB. Con centro en A trazamos un arco de radio AC que corta en dos puntos a la circunferencia, lo que significa que hay dos posiciones C y C’ para uno de los vértices.
Con centro en B trazamos un arco de radio BD que corta en dos puntos a la circunferencia, lo que significa que hay dos posiciones D y D’ para el otro vértice. Hay por lo tanto cuatro soluciones distintas del problema: los cuadriláteros ABCD, ABCD’, ABC’D y ABC’D’.
[editar] Problema VIII
Dibujar el cuadrilátero ABCD, inscriptible y circunscriptible, siendo AB=3cm, DAB=60º y ABC=135º.
Dibujamos con regla y compás los datos conocidos: AB y los ángulos cuyo lado es AB. Las bisectrices de los ángulos dibujados nos dan el centro de la circunferencia inscrita, que dibujamos. Para determinar el punto C recordamos que el ángulo BCD debe ser el suplementario de 60º para que el cuadrilátero sea inscriptible.
Trazamos un ángulo de 120º sobre la recta BC, que es lado del ángulo de 135º. Por el centro de la inscrita trazamos una perpendicular al lado del ángulo de 120º dibujado, que nos dará el punto de tangencia de DC con dicha circunferencia. Situamos DC trazando una paralela que pase por el punto de tangencia. El problema está resuelto. Dibujamos la circunscrita para comprobar la exactitud del trazado.
[editar] Problema IX
Dibujar el cuadrilátero ABCD, inscriptible y circunscriptible, siendo AB=3cm, BC=4cm y ABC=135º.
Dibujamos los lados AB, BC y el ángulo de 135º que forman. Trazando las mediatrices de AB y BC hallamos el circuncentro y dibujamos la circunferencia circunscrita. Para que el cuadrilátero sea circunscriptible como dice el enunciado debe cumplirse que AB+CD=BC+AD
Como BC-AB=1cm se cumplirá que CD-AD=1cm. Dibujamos el lugar geométrico de los puntos del plano que distan n de A y n+1 de C, que es la curva obtenida trazando arcos concéntricos en A y en C de modo que la diferencia de radios en cada caso sea igual a 1cm.
Esta curva corta a la circunferencia dada en el punto D.
[editar] Problema X
Dibujar el cuadrilátero de lados AB, BC, CD, DA, siendo MN el segmento que une los puntos medios de AB y CD.
En este problema es muy interesante hacer previamente un dibujo de análisis, trazado a mano alzada, para estudiar los datos y sus posibilidades. En el dibujo de análisis veremos que tenemos datos suficientes para trazar los paralelogramos definidos por los puntos medios de los lados opuestos y de las diagonales de un cuadrilátero.
A partir de MN trazamos dichos paralelogramos: NFME, formado por los triángulos NFM y NME, pues sabemos que NF=CB/2=ME y FM=AD/2=NE.
EQFE, formado por EQF y FPE; ya que EQ=DC/2=FP y EP=AB/2=QF.
Completamos los paralelogramos NDQE, NFPC, QAMF y EMBP y el problema está resuelto.
Trazamos las diagonales de ABCD para comprobar que E y F son sus puntos medios.
[editar] Problema XI
Conocemos el radio CA de la circunferencia circunscrita al cuadrilátero ABCD, su lado AB, la distancia entre A y el centro de gravedad G y la distancia entre el centro de gravedad G y el centro de la circunscrita. Hallar ABCD.
Dibujamos la circunscrita y la cuerda AB, lado del polígono, siendo A un punto arbitrario. Dibujamos el triángulo definido por A, el centro de gravedad y el centro de la circunscrita. Una vez situado el segmento CG hallamos H, pues sabemos que CG=CH/2, siendo H el punto en el que se cortan las alturas medias del cuadrilátero ABCD, pues está inscrito en una circunferencia.
Trazamos desde H la perpendicular a AB. En su prolongación estará Q, punto medio de CD. Por otra parte trazamos la recta NH que contendrá a la altura media desde N y será perpendicular a CD. Por el centro C de la circunscrita trazamos una paralela a NH que será la mediatriz de CD y se cortará en Q con la otra altura media trazada. Una vez conocida la dirección de CD y su punto medio Q trazamos CD y definimos así ABCD.
Podemos trazar las otras alturas medias y comprobar que se cortan en H, para verificar la exactitud del trazado.
