Aplicaciones al cálculo gráfico

De Wikillerato

Tabla de contenidos

1 Suma de dos segmentos: c=a+b
2 Diferencia (resta) de dos segmentos: c=a-b
3 División de dos segmentos: c=a/b
4 Producto de dos segmentos: c=ab
5 Cuadrado de un segmento: b=a²
6 Raíz cuadrada de un segmento: b=√a
7 Cuadrado de un segmento, aplicando Euclides
- 7.1 Enlaces externos

[editar] Suma de dos segmentos: c=a+b

Sobre una misma recta se coloca un segmento a continuación del otro y el segmento que hay entre sus extremos mas exteriores es el segmento suma.

[editar] Diferencia (resta) de dos segmentos: c=a-b

Se coloca el segmento mayor y desde el mismo extremo y en la misma recta el segmento menor. La distancia que hay entre el extremo del menor y el del mayor es el segmento diferencia.

Para resolver estos problemas debemos definir la unidad que consideramos.

[editar] División de dos segmentos: c=a/b

Dados los segmentos a y b hallamos un tercer segmento c que cumpla: c=a/b, siendo la unidad el centímetro.

Dibujamos un haz de dos rectas que se cortan en O. Sobre una de ellas llevamos ON=a y sobre la otra OM=b y MP=1cm (segmento unidad), como vemos en la figura. Dibujamos MN y su paralela por P, PQ.

$NQ=c$

Vemos que se cumple:

$c=\frac{a}{b}$ pues:

$\frac{a}{b}=\frac{c}{1}$

[editar] Producto de dos segmentos: c=ab

Dados los segmentos a y b hallamos un tercer segmento c que cumpla: c=ab, siendo la unidad el centímetro.

Dibujamos un haz de dos rectas que se cortan en O. Sobre una de ellas llevamos ON=a y sobre la otra OM=1cm (segmento unidad) y MP=b, como vemos en la figura. Dibujamos MN y su paralela por P, PQ.

$NQ=c$

Vemos que se cumple:

$c=ab$

pues:

$\frac{a}{1}=\frac{c}{b}$

[editar] Cuadrado de un segmento: b=a²

Dado un segmento a hallamos un segmento b que cumpla $b=a^2$ , siendo la unidad el centímetro.

Esta construcción una variante de la del producto de un segmento.

Dibujamos un haz de dos rectas que se cortan en O. Sobre una de ellas llevamos ON=a y sobre la otra OM=1cm (segmento unidad) y MP=a, como vemos en la figura. Dibujamos MN y su paralela por P, PQ.

$NQ=b$

Vemos que se cumple:

$b=a^2$ ,pues:

$\frac{a}{1} = \frac{b}{a}$

[editar] Raíz cuadrada de un segmento: b=√a

Dado un segmento a hallamos un segmento b que cumpla $b= \sqrt{a}$ , siendo la unidad el centímetro

Aplicamos el teorema de la altura:

Dibujamos el segmento BC, siendo BH = 1cm (segmento unidad) y HC=a.

Trazamos la semicircunferencia de diámetro BC. La perpendicular a BC por H corta al arco en A.

$AH =b = \sqrt{a}$

pues b es media proporcional de a y de la unidad.

Esta construcción también se hace aplicando el teorema del cateto, como puede verse en la figura.

En este caso se dibuja el segmento BH=1cm y el segmento BC=a.

Dibujamos la circunferencia de diámetro BC. Trazamos la perpendicular a BC desde H. Esta recta corta a la circunferencia en A.

La magnitud solución es $AB = \sqrt{a}$

[editar] Cuadrado de un segmento, aplicando Euclides

Aplicamos el teorema de la altura:

Dibujamos el segmento BH = 1cm (segmento unidad) y prolongamos la recta que lo contiene.

Trazamos la perpendicular a BH por H y llevamos la magnitud a sobre ella:

$AH = a$

Dibujamos el arco de circunferencia que pasa por A y B y tiene el centro en la recta definida por BH. Su centro estará en la intersección de la mediatriz de AB con dicha recta. El arco corta a la recta en C.

$HC= b = a^2$ , pues $AH=a$ es media proporcional de $b=a^2$ y de la unidad.

Esta construcción también se hace aplicando el teorema del cateto, como puede verse en la figura. En este caso se dibuja el segmento BH=1cm y se prolonga la recta que lo contiene. Se dibuja la perpendicular a dicha recta desde H y, con centro en B y radio a se traza el arco que la corta en A.

Dibujamos la circunferencia que pasa por A y B y tiene el centro en la recta BH: trazamos la mediatriz de AB que corta a dicha recta en su centro.

BC es la magnitud solución: $BC=a^2$