El péndulo simple

De Wikillerato

Llamamos péndulo simple al formado por un hilo inextensible, de masa despreciable, suspendido por uno de sus extremos de un punto fijo y, que en el otro, lleva suspendida una masa. Al ser desplazado de la posición de equilibrio ángulos muy pequeños, el rozamiento del hilo con el punto de sujeción es despreciable.

En la figura de la derecha observamos el sistema en equilibrio, el hilo vertical, de longitud $L$ , sosteniendo la masa $m$ , de modo que la tensión del hilo es igual al peso.

Tenemos pues que $\vec T + m \vec g = 0$ , o lo que es igual $\vec T = -m \vec g$

$| \vec T | = | m \vec g |$

En la figura de la izquierda, hemos desplazado la masa $m$ de modo que el hilo ha descrito un pequeño ángulo $\beta$ con relación a la vertical. Al dejar el sistema en libertad comienza a oscilar alrededor de la posición de equilibrio, manteniéndose sobre un plano.

La masa $m$ se ha elevado $\Delta y$ con relación a la horizontal, ha adquirido pues una energía potencial $E_p = mg \Delta y$ .

Al soltar $m$ , describe un arco de circunferencia, de modo que, al caer al punto más bajo de la trayectoria, ha adquirido una energía cinética $E_c = \frac {1}{2} m v_{max}^2 = mg \Delta y$

Debido a la propia energía cinética m vuelve a alcanzar la altura inicial. El péndulo oscila pues alrededor de la posición de equilibrio.

Hagamos un estudio de las fuerzas aplicadas. En el equilibrio sólo existen la tensión y el peso de m, pero en cualquier otra posición, la suma de la tensión $T$ y el peso $mg$ debe ser igual a la fuerza responsable del movimiento, tangente al arco de circunferencia descrito.

$\vec T + m \vec g = \vec F_c = 0$

Observamos que el vector $F_c$ es un vector que recupera la posición de equilibrio.

Pero si estudiamos en la figura, en el triángulo rectángulo que forman los tres vectores observamos que:

$sen \beta = \frac { \vec F_c } {m \vec g }$

Pero para ángulos muy pequeños $\lim sen \beta = \beta$

Con lo cual nos queda $\beta = \frac {F_c}{-mg}$

$F_c = - m g \beta$

Por otra parte, sabemos que para ángulos muy pequeños, ángulo x radio = longitud del arco

$L \beta = \Delta s$

y la longitud del arco es aproximadamente igual a la longitud de la cuerda.

Nos queda $L \beta = x$ , siendo $x$ la proyección del arco sobre la cuerda, sustituyendo en $F_c$

$F_c = -mg \frac {x}{L}$

$F_c = - \frac {mg}{L} x$

Dado que $m$ , $g$ y $L$ , son constantes, observamos que $F_c = -constante.x$

Es una fuerza igual a una constante por la separación de la posición de equilibrio y con signo opuesto, que responde a las condiciones del movimiento oscilatorio armónico

Aplicando la ecuación fundamental de la dinámica

$ma = - \frac {mg}{L} x$