Elipse

De Wikillerato

Tabla de contenidos

1 Definición
2 Ecuación
3 Ejemplo
4 Referencias

[editar] Definición

Llamamos lugar geometrico al conjunto de puntos que satisfacen una determinada propiedad.

Llamamos elipse al lugar geométrico de los puntos de un plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos del plano es constante este valor es 2a, $F1$ y $F2$ , es constante. Veamos sus elementos en los siguiente dibujos:

Los puntos fijos $F1$ y $F2$ se denominan focos, siendo el eje focal la recta que pasa por ellos.

Se llama eje secundario a la mediatriz del segmento $\overline{F1F2}$ . El punto medio de dicho segmento es el centro de la elipse.

Los dos ejes de la elipse cortan a ésta en cuatro puntos, $A$ , $B$ , $C$ y $D$ que reciben el nombre de vértices .

La distancia focal es la que hay entre los focos y se expresa por $2c$ . La mitad de esta distancia, $c$ , es la semidistancia focal.

Para cualquier punto $P$ de la elipse, se verifica que $\overline{PF1} \, + \, \overline{PF2}$ es constante. Llamamos a esta constante $2a$ .

El segmento $\overline{AB}$ es el eje mayor de la elipse. La longitud del eje mayor es $2a$ . La mitad de esta distancia, $a$ , se denomina semieje mayor.

El segmento $\overline{CD}$ es el eje menor de la elipse y su longitud se expresa por $2b$ . La mitad de esta distancia, $b$ , es el semieje menor.

Si aplicamos el teorema de Pitagoras al triangulo rectangulo que forman los puntos $C$ , $B$ y el centro de la elipse, concluimos que en cualquier elipse se cumple la relación:

$a^2 \, = \, b^2 \, + \, c^2$

La excentricidad de una elipse es su grado de achatamiento y su valor está determinado por la expresión:

$e \, = \, \frac{c}{a}$

Cuanto mayor es la excentricidad mas achatada es la elipse. En una elipse $a > c > 0$ y por lo tanto la excentricidad es positiva y menor que uno.

¿Existira alguna relación entre la excentricidad de una elipse y la excentricidad de una persona?

En la imagen de abajo vemos a un jardinero que esta dibujando una elipse en un jardin
para poner en él sus rosales. Ha puesto dos estacas en el suelo separadas una cierta
distancia y esta utilizando una cuerda con sus extremos unidos. El jardinero tensa la
cuerda con las dos estacas y una vara que sujeta con la mano y dibuja la elipse creando
un surco con la vara mientras se asegura de que la cuerda siempre forma un triangulo:

[editar] Ecuación

Supongamos que el origen de cordenadas esta en el centro de la elipse y que el eje focal coincide con el eje $X$ , entonces los focos son:

$F1 \, = \, \left( <pre> \, -c, \, 0 \, </pre> \right) \qquad \mathrm{y} \qquad F2 \, = \, \left( <pre> \, c, \, 0 \, </pre> \right)$

La condición de que la suma de la distancias de un punto cualquiera de la elipse, $P \, = \, \left( <pre> \, x, \, y \, </pre> \right)$ , a los focos es $2a$ se puede expresar matematicamente de la siguiente forma:

$\sqrt { <pre> \left( \, x \, + \, c \, \right) ^2 \, + \, y^2 </pre> } \, + \, \sqrt { <pre> \left( \, x \, - \, c \, \right) ^2 \, + \, y^2 </pre> } \, = \, 2a$

Igualdad que es equivalente a esta otra:

$\frac{x^2}{a^2} \, + \, \frac{y^2}{b^2} \, = \, 1$

que constituye la ecuación reducida de la elipse.

[editar] Ejemplo

Un circunferencia se puede considerar como un caso especial de elipse. Una circunferencia seria una elipse en el que los dos focos y el centro de la elipse coinciden. En una circunferencia $c = 0$ y, por tanto, la excentricidad de una circunferencia es 0.