Posiciones relativas de tres planos

De Wikillerato

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Tabla de contenidos

1 Introduccion
2 Casos que se pueden dar

[editar] Introduccion

Sean tres planos $\pi_1$ y $\pi_2$ y $\pi_3$ de ecuaciones:

$\pi_1: \, a_1 \cdot x \, + \, b_1 \cdot y \, + \, c_1 \cdot z \, + \, d_1 \, = \, 0$

$\pi_2: \, a_2 \cdot x \, + \, b_2 \cdot y \, + \, c_2 \cdot z \, + \, d_2 \, = \, 0$

$\pi_3: \, a_3 \cdot x \, + \, b_3 \cdot y \, + \, c_3 \cdot z \, + \, d_3 \, = \, 0$

Para determinar sus posiciones relativas, analizamos el sistema formado por las ecuaciones de los tres planos, cuyas matrices asociadas son:

$A \, = \, \left( <pre> \begin{array}[c]{ccc} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{array} </pre> \right)$

$A | B \, = \, \left( <pre> \left. \begin{array}[c]{ccc} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{array} \right| \begin{array}[c]{c} -d_1 \\ -d_2 \\ -d_3 \end{array} </pre> \right)$

Según el teorema de Rouché-Frobenius, se pueden los siguientes casos que pasamos a describir en la seccion siguiente.

[editar] Casos que se pueden dar

[editar] Rango ( A ) = Rango ( A | B ) = 3

El sistema de ecuaciones es compatible determinado, y tiene una única solución. Los planos tienen sólo un único punto común. Los planos se cortan en un punto.

Asi, los planos

$\pi_1: \, x \, = \, 1$

$\pi_2: \, y \, = \, 2$

$\pi_2: \, z \, = \, 3$

se cortan en el punto $\left( <pre> \, 1, \, 2, \, 3 \, </pre> \right)$ y

$\makebox{Rango} \left( <pre> \begin{array}[c]{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \, = \, \makebox{Rango} \left( \left. \begin{array}[c]{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right| \begin{array}[c]{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) </pre> = 3$

[editar] Rango ( A ) = 2, Rango ( A | B ) = 3

El sistema de ecuaciones es incompatible, no tiene solucion. Los tres planos no tienen ningún punto en comun.

Pueden presentarse dos situaciones distintas:

[editar] Subcaso 2.1

Los planos se cortan dos a dos según rectas paralelas. Entre los planos considerados no hay dos que sean paralelos. Por tanto, cada dos planos se cortan según una recta.

[editar] Subcaso 2.2

Dos planos paralelos cortados por el tercero.

Analizando las posiciones relativas de cada par de planos se cortan según una recta. Son planos.

[editar] Rango ( A ) = Rango ( A | B ) = 2

El sistema de ecuaciones es compatible indenterminado, y tiene infinitas soluciones. Los planos se cortan en una recta. Pueden presentarse en este caso dos situaciones distintas: