Signo de la función

De Wikillerato

Tabla de contenidos

1 Introducción
2 Ejemplo
3 Signo de la función y su grafica
4 Procedimiento de análisis del signo

[editar] Introducción

En muchos casos, es interesante el conocer el signo que toma la función $\mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ dependiendo de los valores de $x$ .

[editar] Ejemplo

Supongamos que la variable dependiente $y$ son los beneficios de una compañia en un año cualquiera. Resulta que estos beneficios dependen de los ingresos de la compañia a lo largo del año y que representaremos por $\mathrm{x}$ .

Supongamos tambien que existe una función $\mathrm{f}$ que establece de manera precisa como depende $y$ de $x$ .

En este caso, a los propietarios y empleados de la compañia les interesaría mucho saber para que valores de $x$ $y$ toma valores negativos ( perdidas ) y para que valores de $x$ $y$ toma valores positivos ( ganancias ).

[editar] Signo de la función y su grafica

Para encontrar los valores de $x$ para los cuales $\mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ es positiva, podemos resolver la inecuación

$\mathrm{f} \left( \, x \, \right) > 0$

y para encontrar los valores de $x$ para los cuales $\mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ es negativa, podemos resolver la inecuación

$0 > \mathrm{f} \left( \, x \, \right)$

Si uno no tiene mucha habilidad para resolver inecuaciones, puede, alternativamente, utilizar el método que se describe mas abajo.

[editar] Procedimiento de análisis del signo

En primer lugar, hallamos los puntos de corte de la grafica de la función $f$ con el eje X y lo puntos de discontinuidad de $\mathrm{f}$ .

Supongamos que las abcisas de los puntos de corte con el eje X y de los puntos de discontinuidad son, ordenadas de menor a mayor

$x_1, \, x_2, \, \ldots, \, x_n$

Estas dividen a la recta real en $n + 1$ intervalos:

$\left( \, -\infty, \, x_1 \, \right), \, \left( \, x_1, \, x_2 \, \right), \, \left( \, x_2, \, x_3 \, \right), \, \ldots, \, \left( \, x_n, \, \infty \, \right)$

En cada uno de estos intervalos escogemos un $x^\prime$ y evaluamos $\mathrm{f}$ en el.

Si $\mathrm{f} \left( \, x^\prime \, \right)$ es positivo, entonces $\mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ es positivo para todo $x$ en el intervalo donde hemos cogido $x^\prime$ .

Reciprocamente, si $0 > \mathrm{f} \left( \, x^\prime \, \right)$ , entonces $0 > \mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ para todo $x$ en el intervalo donde hemos cogido $x^\prime$ .

Finalmente, en cada uno de los puntos de discontinuidad donde este definida la función, evaluamos el signo de $f$ en dicho punto.

Con este ultimo paso terminariamos el estudio del signo y sabriamos para que valores de $x$ $\mathrm{f}$ es positiva y para que valores de $x$ $\mathrm{f}$ es negativa.

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Categoría: Matemáticas